三角函数求周期的题目
【例】求下列各三角函数的最小正周期。
1、y=3sin2x.
解:因为“y=Asin(ωx+φ)+b的最小正周期T=2π/|ω|”,
结合函数解析式“y=3sin2x=3sin(2x+0)+0”,得A=3、ω=2、φ=0、b=0,
所以,“y=3sin2x”的最小正周期T=2π/|2|=π。
2、y=2cos(-x+1)+3.
解:(方法一)
因为“y=Acos(ωx+φ)+b的最小正周期T=2π/|ω|”,
结合函数解析式“y=2cos(-x+1)+3”,
得A=2、ω=-1、φ=1、b=3,
所以,“y=2cos(-x+1)+3”的最小正周期T=2π/|-1|=2π。
(方法二)
由诱导公式“cos(-x)=cosx”得“cos(-x+1)=cos(x-1)”,
所以,y=2cos(-x+1)+3=2cos(x-1)+3,
所以,“y=2cos(-x+1)+3”与“y=2cos(x-1)+3”具有相同的最小正周期,
因为对于函数“y=2cos(x-1)+3”,
有A=2、ω=1、φ=-1、b=3,
所以,“y=2cos(x-1)+3”的最小正周期T=2π/|1|=2π,
所以,“y=2cos(-x+1)+3”的最小正周期T=2π。
3、y=2tan(πx+3)-1.
解:因为“y=Atan(ωx+φ)+b的最小正周期T=π/|ω|”,
结合函数解析式“y=2tan(πx+3)-1”,
得A=2、ω=π、φ=3、b=-1,
所以,“y=2tan(πx+3)-1”的最小正周期T=π/|π|=1。
求三角函数周期的方法
根据题目类型,一般可以有三种方法求周期:
1、定义法:题目中提到f(x)=f(x+C),其中C为已知量,则C为这个函数的一个最小周期。
2、公式法:将三角函数的函数关系式化为:y=Asin(wx+B)+C或y=Acos(wx+B)+C,其中A,w,B,C为常数。则周期T=2π/w,其中w为角速度,B为相角,A为幅值。若函数关系式化为:Acot(wx+B)+C或者tan(wx+B)+C,则周期为T=π/w。
3、定理法:如果f(x)是几个周期函数代数和形式的,即是:函数f(x)=f1(x)+f2(x),而f1(x)的周期为T1, f2(x)的周期为T2,则f(x)的周期为T=P2T1=P1T2,其中P1、P2N,且(P1、P2)=1
∵f(x+ P1T2)=f1(x+ P1T2)+f2(x+ P1T2)
=f1(x+ P2T1)+ f2(x+ P1T2)
= f1(x)+ f2(x)
=f(x)
∴P1T2是f(x)的周期,同理P2T1也是函数f(x)的周期。
ps:当T为一个三角函数的周期时,NT也为这个三角函数的周期。其中N为不为0的正整数。
反三角函数的性质
反三角函数是一种基本初等函数。它是反正弦arcsin x,反余弦arccos x,反正切arctan x,反余切arccot x,反正割arcsec x,反余割arccsc x这些函数的统称,各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切 ,反正割,反余割为x的角。
反正弦、反余弦函数定义域均为[-1,1],反正切、反余切函数定义域均为(-∞,∞)。反正弦函数值域为[-π/2,π/2],反余弦函数值域为[0,π],反正切函数值域为(-π/2,π/2),反正切函数值域为(0,π)。这四个函数都不是周期函数。
三角函数图像及性质
三角函数是以角度为自变量,角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数,初中阶段常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。三角函数的图像是在坐标轴上无限延伸而有规律循环的图像,并且都是对称的。
正弦函数(y=sinx)的图像对称轴为:x=kπ+π/2(k∈Z),对称中心为:(kπ,0)(k∈Z)
余弦函数(y=cosx)的图像对称轴为:x=kπ(k∈Z),对称中心为:(kπ+π/2,0)(k∈Z)
正切函数(y=tanx)的图像无对称轴,对称中心为:kπ/2+π/2,0)(k∈Z)
反三角函数恒等式是什么
sin(arcsinx)=x,|x|≤1
cos(arccosx)=x,|x|≤1
tg(arctgx)=x,x∈R
ctg(arcctgx)=x,x∈R
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