探索勾股定理

课程简介

一：情景导入课题：探索勾股定理 二：探究活动： 在网格纸中探究：以等腰直角三角形三边为边长向外作正方形A，B，C，探究三个正方形的面积与中间等腰直角三角形三边的关系。得出：两直角边的平方和等于斜边的平方。 三：探究活动： 在网格纸中探究：以任意直角三角形三边为边长向外作正方形P，Q，R，探究三个正方形的面积与中间直角三角形三边的关系。得出：两直角边的平方和等于斜边的平方。 在这里：探究R的面积时，不能用数网格直接求出，用到了“割补法”。 四：发现结论 勾股定理： 文字语言：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。 符号语言：在Rt△ABC中,∠C= 90°,则 AC2+BC2=AB2 (或a2+b2=c2 )

设计思路

一：由数学小故事导入，激发学生的好奇心和探究热情。 二：探究活动：先由等腰直角三角形探究勾股定理，再到一般直角三角形探究勾股定理，都能得到直角三角形三边关系。由特殊到一般符合学生认知规律，顺理成章得到结论。 三：学生通过探究活动，经历观察，分析，计算，归纳得出“勾股定理”。

勾股定理知识点归纳笔记

勾股定理知识点归纳

1、勾股定理

直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a+b=c

2、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c有关系，a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：满足a+b=c的三个正整数，称为勾股数。

常用的勾股数及其通用公式：

1)3n,4n,5n(n是正整数)

例如：(3、4、5)，(6、8、10)......

2) 2n+1,2n+2n，2n+2n+1(n是正整数)

例如：(5,12,13)，(7,24,25)......

注意：常用简单的勾股数需牢记，出卷老师常以此做文章出考题。

2.1、数形结合思想

数形结合思想：就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。使抽象思维和形象思维结合起来，通过“以形助数”，和“以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化.

2.2、化归与转化的思想

化归与转化思想是指将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题。

2.3、分类讨论的思想

分类讨论的思想是指把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，或者有些问题包括多种情况时，要分情况讨论。运用分类讨论思想时要注意：每一次分类要按照同一标准;分类时要做到不重不漏。

2.4、函数思想(或函数与方程的思想)

函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的思维策略。

重要领悟：利用勾股定理，建立方程是数学解题中常用的思想方法，设未知数把未知的量与已知的量集中到同一个直角三角形中，再通过勾股定理建立方程，然后再解方程得解。

勾股定理必背10个公式

1、勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。

2、这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。

3、 勾股定理(又称商高定理，毕达哥拉斯定理)是一个基本的几何定理，早在中国商代就由商高发现。

4、据说毕达高拉斯发现了这个定后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。

5、 勾股定理指出： 直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。

6、 也就是说， 设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那麽 a2 + b2 = c2 勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

7、 勾股数组 满足勾股定理方程a2 + b2 = c2的正整数组(a,b,c)。

8、例如(3,4,5)就是一组勾股数组。

9、 由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。

10、 推广 如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两斜边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。

11、即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。

12、在直角三角形中,两直角边的平方和等斜边的平方。

13、a^2+b^2=c^2。

勾股定理的算法

勾股定理,直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.

A²+B²=C²

C=√(A²+B²)

√(120²+90²)=√22500=√150²=150

例如直角三角形 的三条边是3(直角边)、4(直角边)、5(斜边)

3²+4²=5²

5=√(3²+4²)=√5²=5

勾股定理证明最简单的方法

勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的证明方法有很多，一起看一下具体内容。

最简单的勾股定理证明方法

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像下图那样拼成两个正方形。

发现四个直角三角形和一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形，刚好可以组成边长为，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP∥BC，交AC于点P

过点B作BM⊥PQ，垂足为M;再过点

F作FN⊥PQ，垂足为N.

∵∠BCA=90°，QP∥BC

∴∠MPC=90°

∵BM⊥PQ

∴∠BMP=90°

∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90°

∵∠QBM+∠MBA=∠QBA

∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°

∴∠QBM=∠ABC

又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c

∴RtΔBMQ≌RtΔBCA

同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF

即a2+b2=c2。

三角形三边公式定理

三角形的三边关系定理：三角形第三边小于两边之和，大于两边之差。可以表示为两边之差<第三边<两边之和。

三角形的三边关系定理

设三边为a,b,c,则有

a+b>c

a+c>b

b+c>a

三边关系推论：a>b-cc>b-ab>a-c

三角形三边关系定理及推论的作用

①判断三条已知线段能否组成三角形;

②当已知两边时，可确定第三边的范围;

③证明线段不等关系。

特殊

直角三角形

性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

性质2：在直角三角形中，两个锐角互余。

性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

等腰直角三角形

等腰直角三角形三边之比：1：1：根号二。

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